गणित और कंप्यूटेशन

यादृच्छिक आव्यूह प्रयोग

यादृच्छिक संख्याओं से भरे बड़े आव्यूह, जिन्हें बार-बार विकर्णित करके उनके आइगेनमानों के आँकड़े देखे जाते हैं।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: किसी यादृच्छिक आव्यूह के आइगेनमान किस पैटर्न में बसते हैं, और क्या वह गणित और भौतिकी के दूसरे क्षेत्रों से मेल खाता है?

छोड़ता है: संभावित आव्यूहों के अनंत स्थान के केवल एक नन्हे कोने का नमूना लेता है।

इस पर चलता है: लगभग 10¹² FLOPS मोटा अनुमान एक विश्वविद्यालय का क्लस्टर, जो कई बड़े आव्यूह बनाकर उनका विकर्णीकरण करता हैतब से: 1955 Wigner का यादृच्छिक आव्यूह आइगेनमान आँकड़ों पर शुरुआती काम

यादृच्छिक ग्राफ़ प्रयोग

किसी यादृच्छिक नियम से नोड-दर-नोड या एज-दर-एज बनाए गए ग्राफ़, ताकि देखा जा सके कि जुड़ाव या क्लस्टरिंग जैसे कौन-से गुण आम तौर पर उभरते हैं।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: नोड और किनारे जोड़ने के इस नियम से एक ‘आम’ नेटवर्क कैसा दिखता है?

छोड़ता है: असली दुनिया के नेटवर्क शायद ही उतने साफ़ होते हैं जितना मॉडल बनाने वाला नियम।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁰ FLOPS मोटा अनुमान दस लाख नोड तक के ग्राफ़ों के लिए डेस्कटॉप पर चलता हैतब से: 1959 एर्डोश और रेनी का यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल

परकोलेशन सिमुलेशन

एक जालक या नेटवर्क, जिसके स्थल या बंध बेतरतीब खोले जाते हैं, और देखा जाता है कि किस बिंदु पर जुड़ा रास्ता अचानक पूरे तंत्र में फैल जाता है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: किस घनत्व पर बेतरतीब नेटवर्क अचानक सिरे से सिरे तक जुड़ जाता है?

छोड़ता है: आदर्शीकृत लैटिस किसी भी असली छिद्रदार पदार्थ या नेटवर्क से ज़्यादा साफ़-सुथरे व्यवहार करते हैं।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁰ FLOPS मोटा अनुमान बड़े जालक स्वीप के लिए एक डेस्कटॉप मशीनतब से: 1957 ब्रॉडबेंट और हैमर्सली द्वारा परकोलेशन सिद्धांत का परिचय

प्रायोगिक गणित की खोजें

पैटर्नों, प्रतिउदाहरणों या संख्याओं के बीच सटीक संबंधों की ब्रूट-फ़ोर्स संख्यात्मक खोज, जो हाथ से जाँचे जा सकने से कहीं आगे तक चलाई जाती है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या यह अनुमान हर उस मामले में सही है जिसे कोई जाँच सकता है, और क्या कोई पैटर्न उभरता है?

छोड़ता है: जाँचे गए मामलों की कोई भी संख्या प्रमाण नहीं है, चाहे जितने सही निकलें।

इस पर चलता है: लगभग 10¹¹ FLOPS मोटा अनुमान एक विश्वविद्यालय का क्लस्टर, जो एक खोज पर कई दिन चलता हैतब से: 1963 1963 तक, पूर्णांक-संबंधों और अभाज्य पैटर्नों के लिए कंप्यूटर की खोजें

स्थिरांकों का मॉन्टे कार्लो आकलन

गणितीय स्थिरांक या समाकल का आकलन करने के लिए यादृच्छिक नमूना, जैसे क्षेत्रफल के आकलन के लिए बिंदु बिखेरना, भौतिक मॉडल के लिए नहीं बल्कि अभ्यास के रूप में।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: केवल अंधा यादृच्छिक नमूना लेकर किसी सटीक गणितीय राशि को कितनी सटीकता से पकड़ा जा सकता है?

छोड़ता है: लगभग हर ज़्यादा परिष्कृत संख्यात्मक विधि से कहीं धीमा अभिसरण करता है।

इस पर चलता है: लगभग 10⁹ FLOPS मोटा अनुमान लैपटॉप पर सेकंडों से मिनटों में चलता हैतब से: 1946 Ulam का 1946 का विचार; von Neumann ने मार्च 1947 में इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर वाला रूप सुझाया, और विधि 1949 में पहली बार प्रकाशित हुई स्रोतसिमुलेशन वृक्ष में: मोंटे कार्लो विधि

इंटरैक्टिव मॉडल चलाइए

संगणनात्मक संख्या-सिद्धांत की खोजें

बड़ी संख्याओं की अभाज्यता जाँची जाती है, उनके गुणनखंड निकाले जाते हैं, या पूर्ण संख्याओं जैसे विशेष गुणों के लिए खोजा जाता है, हाथ से नहीं बल्कि बड़े पैमाने पर चलाए एल्गोरिद्मों से।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या इस विशाल संख्या में वह गुण है जिसे हम ढूँढ रहे हैं, और खोज रिकॉर्ड को कितनी दूर तक धकेल सकती है?

छोड़ता है: रिकॉर्ड तोड़ने वाली खोजें उन संख्याओं के बारे में बहुत कम बताती हैं जिन्हें अब तक किसी ने जाँचने की सोची नहीं।

इस पर चलता है: लगभग 10¹³ FLOPS मोटा अनुमान कई दान की गई मशीनों पर फैली एक वितरित स्वयंसेवी कंप्यूटिंग परियोजनातब से: 1951 लुकास की मेरसेन अभाज्यों के लिए हाथ से की गई जाँच, जो पहली बार 1951 में कंप्यूटर से चली

कैओटिक अट्रैक्टर की संख्यात्मक गणनाएँ

अरैखिक समीकरणों का एक छोटा समूह कदम-दर-कदम समाकलित किया जाता है, ताकि आरंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता और एक फ़्रैक्टल अट्रैक्टर दिखे।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: कोई सरल नियतात्मक प्रणाली अप्रत्याशित क्यों हो जाती है?

छोड़ता है: संख्यात्मक पूर्णांकन का मतलब है कि लंबा प्रक्षेप-पथ असली कक्षा नहीं, केवल उसके पास टिकने वाला पथ है।

इस पर चलता है: लगभग 10³ FLOPS मोटा अनुमान कुछ समीकरण, लैपटॉप पर कुछ सेकंड।तब से: 1963 लॉरेंज़ का निर्धारणात्मक अनावर्ती प्रवाह, कंप्यूटर पर चलाया गया संवहन मॉडल। स्रोतसिमुलेशन वृक्ष में: लॉरेंज़ का अव्यवस्थित संवहन

अरैखिक लैटिस प्रयोग

अरैखिक स्प्रिंगों से जुड़े द्रव्यमानों की एक शृंखला, जिसे एक ही मोड में शुरू करके देखा जाता है कि ऊर्जा बराबर फैलती है या नहीं, जैसा ऊष्मागतिकी के अनुसार होना चाहिए।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या अरैखिक शृंखला अपनी ऊर्जा अपनी सभी गतियों में बराबर बाँटती है?

छोड़ता है: नतीजे चुनी हुई श्रृंखला और प्रारंभिक अवस्था पर निर्भर करते हैं।

इस पर चलता है: लगभग 10³ FLOPS मोटा अनुमान आधुनिक मानकों से बहुत छोटा; मूल में कुछ दर्जन द्रव्यमान थे।तब से: 1955 फ़र्मी, पास्ता और उलम के शुरुआती डिजिटल कंप्यूटर पर अरैखिक समस्याओं के अध्ययन। स्रोत

सॉलिटॉन के संख्यात्मक प्रयोग

एक अरैखिक तरंग समीकरण ग्रिड पर हल किया जाता है, ताकि देखा जा सके कि स्पंद एक-दूसरे के आर-पार निकलकर अपना आकार बनाए रखते हैं, जो रैखिक तरंगें नहीं करतीं।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: कुछ अरैखिक तरंगें एक-दूसरे को बिना बदले क्यों पार कर जाती हैं?

छोड़ता है: यह समीकरणों का एक परिवार दिखाता है, अरैखिक तरंगों का सामान्य व्यवहार नहीं।

इस पर चलता है: लगभग 10⁴ FLOPS मोटा अनुमान एक-आयामी ग्रिड, आज मामूली।तब से: 1965 Zabusky और Kruskal का टकराव-रहित प्लाज़्मा में सॉलिटॉनों की पारस्परिक क्रिया और शुरुआती अवस्थाओं की पुनरावृत्ति। स्रोत

फ़्रैक्टल-समुच्चय रेंडरिंग

एक सरल बार-बार दोहराया जाने वाला सूत्र, जिसे सम्मिश्र तल के हर स्थान पर परखा जाता है कि वह बच निकलता है या नहीं, और जो स्थिर बिंदुओं के समुच्चय की सीमा खींचता है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: उस समुच्चय का आकार क्या है जहाँ कोई सरल पुनरावृत्ति सीमाबद्ध रहती है?

छोड़ता है: बच निकलने की जाँचें केवल सदस्यता का संकेत देती हैं, और चित्र अनंत ब्योरे वाले समुच्चय का सीमित-विभेदन नमूना है।

इस पर चलता है: लगभग 10⁹ FLOPS मोटा अनुमान गहरे ज़ूम के लिए लाखों बिंदुओं पर विस्तारित-परिशुद्धता पुनरावृत्ति चाहिए।तब से: 1980 मैंडलब्रॉट का z से lambda z(1-z) की पुनरावृत्ति के फ़्रैक्टल पहलू, मैंडलब्रॉट समुच्चय की पहली कंप्यूटर छवियाँ। स्रोत

रेत का ढेर स्व-संगठित क्रांतिकता

ग्रिड पर गिराए गए दाने, जो ज़्यादा खड़ी ढलान होने पर ढह जाते हैं और बिना किसी ट्यूनिंग के हर आकार के हिमस्खलन पैदा करते हैं। यह इस बात का मॉडल है कि तंत्र कैसे क्रांतिक अवस्था में पहुँचते हैं।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: हर आकार के हिमस्खलन बिना किसी ट्यूनिंग के क्यों दिखते हैं?

छोड़ता है: असली प्रणालियों में वही मापन-नियम चलता है या नहीं, यह विवादित है।

इस पर चलता है: लगभग 10⁹ FLOPS मोटा अनुमान पैमाना देखने के लिए बड़े ग्रिडों पर लंबे रन।तब से: 1987 बाक, तांग और वीज़नफ़ेल्ड की स्व-संगठित क्रांतिकता: 1/f शोर की एक व्याख्या। स्रोत

रीमान ज़ेटा शून्यकों की गणना

ज़ीटा फ़ंक्शन के उसकी क्रांतिक रेखा के साथ मान निकाले जाते हैं, ताकि उसके शून्य खोजे और गिने जा सकें, और जाँचा जा सके कि वे वहीं हैं जहाँ परिकल्पना कहती है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या ज़ीटा फ़ंक्शन के सभी अतुच्छ शून्य एक ही रेखा पर हैं?

छोड़ता है: कोई सीमित जाँच, चाहे कितनी भी लंबी हो, यह साबित नहीं कर सकती कि उसके आगे रेखा से बाहर कोई शून्य नहीं है।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁸ FLOPS मोटा अनुमान सबसे बड़ी खोजों में CPU समय के दशक।तब से: 1953 रीमान ज़ीटा फ़ंक्शन की Turing की गणनाएँ। स्रोत

कंप्यूटर से पाई के अंक

पाई की शृंखलाएँ सटीक अंकगणित से विशाल संख्या में अंकों तक जोड़ी जाती हैं, जिससे संख्या और मशीन दोनों की जाँच होती है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या पाई के अंक बेतरतीब दिखते हैं, और क्या इस पैमाने पर मशीन पर भरोसा किया जा सकता है?

छोड़ता है: अंक किसी खुले प्रश्न का उत्तर नहीं देते, और जाँचें हार्डवेयर की त्रुटियाँ तभी पकड़ती हैं जब विधि स्वतंत्र हो।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁷ FLOPS मोटा अनुमान सैकड़ों ट्रिलियन अंकों के लिए सर्वर पर कुछ महीने।तब से: 1950 राइटवीज़नर का ENIAC से पाई और e का 2000 से ज़्यादा दशमलव स्थानों तक निर्धारण (1950 में प्रकाशित, Pi: A Source Book में पुनर्मुद्रित)। स्रोत

AI-निर्देशित अनुमान-खोज

गणितीय वस्तुओं की बड़ी तालिकाओं पर मशीन लर्निंग यह खोजती है कि कौन-से गुण जुड़े हैं, ताकि कोई अनुमान सुझाया जाए जिसे गणितज्ञ फिर सिद्ध करने की कोशिश करें।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: इन गणितीय राशियों के बीच कौन-सा अनदेखा संबंध सिद्ध करने लायक़ है?

छोड़ता है: यह केवल पैटर्न सुझाता है और खुद कुछ सिद्ध नहीं करता, और डेटा की कुछ नियमितताएँ डेटा बनने के तरीक़े की उपज हो सकती हैं।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁵ FLOPS मोटा अनुमान प्रति डेटासेट कुछ GPU पर कुछ दिन।तब से: 2021 डेविस और सहकर्मियों का AI से मानवीय अंतर्ज्ञान को निर्देशित करके गणित को आगे बढ़ाना। स्रोत

सीखा हुआ एल्गोरिद्म और निर्माण खोज

खेल खेलने वाला या भाषा-मॉडल आधारित तंत्र नई प्रक्रियाएँ या गणितीय वस्तुएँ खोजता है, और कंप्यूटर हर उम्मीदवार की शुद्धता जाँचता है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या कोई प्रोग्राम लोगों को मिले से तेज़ एल्गोरिदम या बड़ा उदाहरण खोज सकता है?

छोड़ता है: हर नतीजा एक अकेला नया उदाहरण है, और खोज केवल उन वस्तुओं को ढकती है जिन्हें इसके रचनाकारों ने खेल की तरह ढाला।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁷ FLOPS मोटा अनुमान त्वरक क्लस्टरों पर कुछ दिनों से कुछ हफ़्ते।तब से: 2022 फ़ौज़ी और सहकर्मियों का AlphaTensor, जो सुदृढ़ीकरण-अधिगम से तेज़ आव्यूह-गुणन एल्गोरिदम खोजता है। स्रोत

मॉडल जाँच

किसी सीमित तंत्र, जैसे प्रोटोकॉल या सर्किट डिज़ाइन, की हर पहुँचने योग्य अवस्था कंप्यूटर से गिनी जाती है, ताकि जाँचा जाए कि कोई गुण सब में सही है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या कोई पहुँचने योग्य अवस्था है जहाँ यह डिज़ाइन अपने ही नियम तोड़ता है?

छोड़ता है: अवस्था-स्थान इतने फैल जाते हैं कि जाँच से परे हो जाते हैं, इसलिए असली डिज़ाइनों को पहले सरल किया जाता है।

इस पर चलता है: लगभग 10¹² FLOPS मोटा अनुमान एक विश्वविद्यालय का क्लस्टर, जो बड़ी लेकिन सीमित अवस्था-समष्टि को पूरी तरह खँगालता हैतब से: 1981 क्लार्क और एमर्सन द्वारा मॉडल-जाँच का परिचय

स्वचालित प्रमेय-सिद्धि खोज

तार्किक अनुमान की कड़ियों में खोज, जो कंप्यूटर कदम-दर-कदम बनाता है, किसी गणितीय कथन का प्रमाण या खंडन ढूँढते हुए।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या अभिगृहीतों से इस कथन तक तार्किक चरणों की कोई वैध कड़ी मौजूद है?

छोड़ता है: ऐसे प्रमाण खोजता है जो कोई इंसान नहीं चुनता, और पहुँच के भीतर कभी-कभी कोई भी नहीं मिलता।

इस पर चलता है: लगभग 10¹¹ FLOPS मोटा अनुमान एक विश्वविद्यालय का क्लस्टर, जो कुछ घंटों से कुछ दिनों तक खोजता हैतब से: 1956 Logic Theorist, स्वचालित प्रमाण-खोज का एक शुरुआती प्रोग्राम

SAT और बाधा-समाधान

सत्य या असत्य मानों के लाखों संयोजन व्यवस्थित रूप से खोजे जाते हैं ताकि तार्किक बाधाओं का बड़ा समूह संतुष्ट हो, जिनसे समय-सारणी, रूटिंग या डिज़ाइनों का सत्यापन किया जाता है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या मानों का कोई ऐसा निर्धारण है जो इन सभी बाधाओं को एक साथ संतुष्ट करे?

छोड़ता है: कुछ मामले इतने कठिन होते हैं कि कोई भी सॉल्वर, चाहे कितना अच्छा हो, समय पर ख़त्म नहीं कर पाता।

इस पर चलता है: लगभग 10¹¹ FLOPS मोटा अनुमान एक वर्कस्टेशन से क्लस्टर तक, समस्या के आकार पर निर्भरतब से: 1962 सैटिस्फ़ाएबिलिटी खोज के लिए Davis-Putnam प्रक्रिया

क्रिप्टोग्राफ़िक हमले की मॉडलिंग

कोई कोड या कुंजी-विनिमय योजना, जिस पर सिमुलेशन में लाखों बार हमला होता है, जैसे ब्रूट फ़ोर्स, सांख्यिकीय झुकाव या मॉडल की गई कमज़ोरी से। मकसद यह नापना है कि उसे तोड़ने में असल में कितनी मेहनत लगती है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: इसे तोड़ने के लिए असल में कितने ऑपरेशन लगेंगे, और क्या वह संख्या अब भी सुरक्षित रूप से बड़ी है?

छोड़ता है: केवल उन्हीं हमलों की जाँच करता है जिनका मॉडल बनाने की विश्लेषक ने सोची, उस हमले की नहीं जिसे अब तक किसी ने नहीं खोजा।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁴ FLOPS मोटा अनुमान कई मशीनों का वितरित क्लस्टर, जो हमले के परीक्षण चलाता हैतब से: 1976 1976 तक, सिफ़र और कुंजी-विनिमय की मज़बूती का संगणनात्मक विश्लेषण

साइड-चैनल रिसाव सिमुलेशन

किसी उपकरण की बिजली खपत, समय या विद्युत-चुंबकीय उत्सर्जन को तब मॉडल किया जाता है जब वह कोई क्रिप्टोग्राफ़िक संक्रिया चलाता है, ताकि देखा जा सके कि बाहर बैठा कोई उससे क्या सीख सकता है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: गुप्त कुंजी का कितना हिस्सा गणित से नहीं, उपकरण के भौतिक व्यवहार से रिस जाता है?

छोड़ता है: प्रयोगशाला की स्थितियों में संकेत उतने साफ़ मिलते हैं जितने शोरभरा असली उपकरण आम तौर पर नहीं देता।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁰ FLOPS मोटा अनुमान एक उपकरण की बिजली या समय-निशान का मॉडल बनाता वर्कस्टेशनतब से: 1996 कोचर का क्रिप्टोग्राफ़िक कार्यान्वयनों पर टाइमिंग हमलों का प्रदर्शन

सुरक्षा प्रोटोकॉल सत्यापन

हर संदेश जो हमलावर किसी संचार प्रोटोकॉल में भेज, दोहरा या जाली बना सकता है, कंप्यूटर से गिना जाता है, ताकि जाँचा जाए कि उससे राज़ या पहचान ज़बरदस्ती निकाली जा सकती है या नहीं।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या संदेशों का कोई क्रम इस प्रोटोकॉल को राज़ उगलने या नकली पहचान मान लेने पर मजबूर कर सकता है?

छोड़ता है: प्रोटोकॉल को वैसा जाँचता है जैसा तय किया गया, न कि वे शॉर्टकट जो असली क्रियान्वयन लेता है।

इस पर चलता है: लगभग 10¹¹ FLOPS मोटा अनुमान एक वर्कस्टेशन से क्लस्टर तक, जो किसी प्रोटोकॉल की संदेश-समष्टि जाँचता हैतब से: 1989 Dolev-Yao मॉडल, प्रोटोकॉल सत्यापन का एक बुनियादी आधार

हर मामला जाँचकर कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण

एक प्रमेय, जो मामलों की सीमित सूची में सिमटा है, हर एक प्रोग्राम से सत्यापित, क्योंकि कोई इंसान उन सबको जाँच नहीं सकता था।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या हर मामले को जाँचती मशीन से प्रमाण पूरा हो सकता है?

छोड़ता है: भरोसा प्रोग्राम, हार्डवेयर और मामलों को घटाने वाले तर्क पर चला जाता है।

इस पर चलता है: लगभग 10⁹ FLOPS मोटा अनुमान मूल के लिए मेनफ़्रेम पर लगभग एक हज़ार घंटे; अब बहुत कम।तब से: 1977 आपेल और हाकेन का प्रमाण कि हर समतल नक्शा चार रंगों से रंगा जा सकता है, कंप्यूटर से जाँची गई अपचयनीयता का उपयोग करते हुए। स्रोत

सत्यापित संख्यात्मक विधियाँ

गारंटीशुदा सीमाओं के साथ की गई गणनाएँ, ताकि संख्यात्मक नतीजा गणितीय कथन साबित करे, जैसे किसी कैओटिक अट्रैक्टर के अस्तित्व का।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या गणना किए उत्तर को सही साबित किया जा सकता है, केवल संभवतः सटीक नहीं?

छोड़ता है: अनुमान की सीमाएँ लंबे समय में बेहद बढ़ सकती हैं, जिससे प्रमाण छोटी या सुव्यवस्थित समस्याओं तक सीमित रह जाते हैं।

इस पर चलता है: लगभग 10⁹ FLOPS मोटा अनुमान अंतराल अंकगणित लागत को मामूली गुणक से बढ़ाता है।तब से: 2002 Tucker का कठोर ODE सॉल्वर और Smale की 14वीं समस्या, जिसने सिद्ध किया कि लोरेंज़ अट्रैक्टर मौजूद है। स्रोत

ट्यूरिंग-मशीन गणना

न्यूनतम मशीन का हर छोटा प्रोग्राम चलाकर देखा जाता है कि कौन रुकते हैं और कौन हमेशा चलते हैं, ताकि हर आकार का सबसे लंबा चलने वाला रुकने वाला प्रोग्राम मिले।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: कोई नन्हा प्रोग्राम रुकने से पहले कितनी देर चल सकता है?

छोड़ता है: अनिर्णेयता का मतलब है कि कुछ मशीनें कभी वर्गीकृत नहीं की जा सकतीं, चाहे वे कितनी भी देर चलें।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁵ FLOPS मोटा अनुमान अरबों मशीनें, जिनमें न रुकने वालों के लिए प्रमाण हैं।तब से: 1965 लिन और रेडो के ट्यूरिंग-मशीन समस्याओं के कंप्यूटर अध्ययन। स्रोत

सांख्यिकीय मॉडल जाँच

यादृच्छिक व्यवहार वाले तंत्र को कई बार सिमुलेट किया जाता है, ताकि भरोसे के साथ अनुमान लगे कि वह किसी गुण का उल्लंघन कितनी संभावना से करेगा।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: कोई यादृच्छिक प्रणाली सुरक्षा-नियम तोड़ दे, इसकी कितनी संभावना है?

छोड़ता है: सांख्यिकीय रन विश्वास-स्तर के साथ एक संभावना देते हैं, प्रमाण नहीं, और दुर्लभ विफलताओं के लिए महत्व-प्रतिचयन चाहिए।

इस पर चलता है: लगभग 10⁹ FLOPS मोटा अनुमान हज़ारों से लाखों नमूना निष्पादन।तब से: 2002 Younes और Simmons का स्वीकृति नमूनाकरण से असतत घटना प्रणालियों का संभाव्य सत्यापन। स्रोत

फ़ज़ परीक्षण

किसी प्रोग्राम को भारी संख्या में बेतरतीब या बदले हुए इनपुट दिए जाते हैं, ताकि वे इनपुट मिलें जो उसे क्रैश करा दें। असल में यह शत्रुतापूर्ण या लापरवाह दुनिया का सिमुलेशन है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: कौन-सा इनपुट इस सॉफ़्टवेयर को विफल कर देगा?

छोड़ता है: यह केवल वही विफलताएँ खोजता है जहाँ यादृच्छिक इनपुट पहुँचते हैं, और कोई प्रोग्राम किसी दुर्लभ स्थिति के पीछे बग छिपाए सालों तक पास होता रह सकता है।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁴ FLOPS मोटा अनुमान किसी बड़े कोड-आधार के लिए CPU समय के मशीन-वर्ष।तब से: 1990 मिलर, फ्रेड्रिक्सन और सो का UNIX उपयोगिताओं की विश्वसनीयता पर अनुभवजन्य अध्ययन। स्रोत

प्रतीकात्मक निष्पादन

किसी प्रोग्राम को अज्ञात इनपुटों के साथ चलाया जाता है, जिन्हें प्रतीकों के रूप में लिखा गया है, और हर रास्ते की शर्तें जुटाई जाती हैं, फिर एक सॉल्वर वे मान खोजता है जो हर शाखा पर ले जाएँ।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: कौन-से इनपुट इस प्रोग्राम के हर रास्ते को चलाते हैं, और क्या कोई बग तक पहुँचता है?

छोड़ता है: रास्तों की संख्या प्रोग्राम के आकार के साथ घातांक की दर से बढ़ती है, इसलिए बड़े प्रोग्राम केवल आंशिक रूप से ढके जाते हैं।

इस पर चलता है: लगभग 10¹² FLOPS मोटा अनुमान हर प्रोग्राम के लिए सॉल्वर के घंटे, पथों की संख्या के साथ तेज़ी से बढ़ते हुए।तब से: 1976 किंग का प्रतीकात्मक निष्पादन और प्रोग्राम परीक्षण। स्रोत

अमूर्त निर्वचन

किसी प्रोग्राम को अकेले मानों की जगह संभावित मानों के समूहों, जैसे परासों, पर चलाया जाता है, ताकि वे गुण साबित हों जो हर इनपुट के लिए सही हैं।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या यह प्रोग्राम किसी भी इनपुट के लिए कभी शून्य से भाग दे सकता है या ओवरफ़्लो हो सकता है?

छोड़ता है: सुरक्षित सन्निकटन झूठे अलार्म बढ़ाता है, इसलिए लोगों को हर चेतावनी फिर भी जाँचनी पड़ती है।

इस पर चलता है: लगभग 10¹¹ FLOPS मोटा अनुमान बड़े एवियॉनिक्स कोड-आधार के लिए वर्कस्टेशन पर घंटे।तब से: 1977 कूसो और कूसो का अमूर्त निर्वचन, प्रोग्रामों के स्थैतिक विश्लेषण के लिए एकीकृत जालक मॉडल। स्रोत

सीमाबद्ध मॉडल-जाँच

किसी डिज़ाइन का एक तय संख्या के चरणों तक का व्यवहार तर्क सूत्र के रूप में लिखा जाता है और सैटिस्फ़ाएबिलिटी सॉल्वर को दिया जाता है, ताकि बग तक कोई छोटा रास्ता मिले।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या यह सर्किट या प्रोग्राम तय संख्या के चरणों में त्रुटि की अवस्था तक पहुँच सकता है?

छोड़ता है: यह चरण-सीमा से आगे कुछ सिद्ध नहीं करता, जब तक कोई अलग तर्क न दिखाए कि वह काफ़ी है।

इस पर चलता है: लगभग 10¹³ FLOPS मोटा अनुमान हर संपत्ति के लिए सर्वर पर घंटे।तब से: 1999 बिएरे, चिमात्ती, क्लार्क और झू की BDD के बिना प्रतीकात्मक मॉडल-जाँच। स्रोत

गुण-आधारित यादृच्छिक परीक्षण

एक नियम बताया जाता है जो हमेशा सही होना चाहिए, और कंप्यूटर कई बेतरतीब मामले बनाता है तथा किसी भी विफलता को छोटे प्रतिउदाहरण तक सिकोड़ देता है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या यह कोड इनपुटों की व्यापक श्रेणी पर अपने ही विनिर्देश का पालन करता है?

छोड़ता है: यादृच्छिक मामले शायद किसी दुर्लभ स्थिति तक कभी न पहुँचें, और लिखा गया गुण शायद वही न हो जो मायने रखता है।

इस पर चलता है: लगभग 10⁹ FLOPS मोटा अनुमान हज़ारों मामलों के लिए लैपटॉप पर कुछ मिनट।तब से: 2000 क्लैसेन और ह्यूज़ का QuickCheck, Haskell प्रोग्रामों की यादृच्छिक जाँच का हल्का उपकरण। स्रोत

तंत्रिका नेटवर्क सत्यापन

कंस्ट्रेंट सॉल्वर साबित करते हैं कि किसी क्षेत्र के हर इनपुट के लिए तंत्रिका नेटवर्क का आउटपुट सीमाओं के भीतर रहता है, नमूने परखने की जगह।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या इनपुट में छोटा सा बदलाव कभी नेटवर्क से ग़लत उत्तर दिलवा सकता है?

छोड़ता है: प्रमाण केवल छोटे नेटवर्कों तक चलते हैं, और जाँचे जा सकने वाले विक्षोभों का समूह संकरा है।

इस पर चलता है: लगभग 10¹³ FLOPS मोटा अनुमान छोटे नेटवर्क के लिए सर्वर पर कई घंटे से कई दिन।तब से: 2017 कैट्ज़ और सहयोगियों का Reluplex, गहन तंत्रिका नेटवर्कों के सत्यापन के लिए एक SMT सॉल्वर। स्रोत

कंप्यूटर आर्किटेक्चर सिमुलेशन

प्रस्तावित प्रोसेसर की पाइपलाइन, कैश और शाखा-भविष्यवक्ता को निर्देश-दर-निर्देश मॉडल किया जाता है, ताकि चिप बनने से पहले उसकी गति का अनुमान लगे।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: चिप बनाए जाने से पहले यह प्रोसेसर डिज़ाइन असली प्रोग्राम कितनी तेज़ी से चलाएगा?

छोड़ता है: असली चिप का इतना हिस्सा सरल करता है कि अंतिम सिलिकॉन हमेशा मॉडल से थोड़ा अलग रहता है।

इस पर चलता है: लगभग 10¹¹ FLOPS मोटा अनुमान एक विश्वविद्यालय का क्लस्टर, जो मॉडल में बेंचमार्क प्रोग्राम चलाता हैतब से: 1990 1990 तक, आर्किटेक्चर शोध के लिए चक्र-सटीक प्रोसेसर सिमुलेटर

वितरित तंत्र और सर्वसम्मति सिमुलेशन

कई कंप्यूटर, जिन्हें देरी, संदेशों के गुम होने और विफलताओं के साथ एक-दूसरे को संदेश भेजते हुए मॉडल किया जाता है, ताकि परखा जाए कि वितरित एल्गोरिद्म अब भी सही उत्तर पर सहमत होता है या नहीं।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या यह एल्गोरिदम संदेश खोने, देर होने या नोड ख़राब होने पर भी सही सहमति तक पहुँचता है?

छोड़ता है: डाली गई विफलताएँ वे हैं जिनका डिज़ाइनर ने अनुमान लगाया था, वे नहीं जो उत्पादन में अचानक उभरती हैं।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁰ FLOPS मोटा अनुमान सैकड़ों वर्चुअल नोड सिमुलेट करने वाला क्लस्टरतब से: 1978 लैम्पोर्ट का वितरित प्रणालियों में क्रम और विफलता पर शुरुआती काम

भंडारण प्रणालियों का सिमुलेशन

डिस्क, ड्राइव और फ़ाइल-प्रणालियाँ मॉडल की जाती हैं, कि वे डेटा कैसे रखती, विफल होती और उबरती हैं, ताकि असली ड्राइव ख़रीदने और भरने से पहले भंडारण डिज़ाइन परखा जा सके।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: यह भंडारण डिज़ाइन कैसा प्रदर्शन करता है और विफलता से कैसे बचता है, ऐसे पैमाने पर जहाँ पहले असल में परखना बहुत महँगा है?

छोड़ता है: असली ड्राइव मॉडल की यादृच्छिक विफलता दर से कहीं ज़्यादा उलझे, सहसंबद्ध ढंग से विफल होती हैं।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁰ FLOPS मोटा अनुमान एक वर्कस्टेशन से छोटे क्लस्टर तक, जो भंडारण-ऐरे का मॉडल बनाता हैतब से: 1988 1988 तक, डिस्क-ऐरे की विश्वसनीयता के सिमुलेशन मॉडल

ऑपरेटिंग सिस्टम शेड्यूलर सिमुलेशन

गणना के कामों की एक धारा, जिसे प्रोसेसर के लिए आती और होड़ लगाती मॉडल किया जाता है, और अलग-अलग समय-निर्धारण नियमों पर चलाया जाता है, ताकि देखा जाए कि कौन सा सबसे निष्पक्ष या सबसे तेज़ है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: कामों की कतार को किस तरह क्रम देने से सबसे ज़्यादा काम होता है, या हर काम के साथ सबसे ज़्यादा न्याय होता है?

छोड़ता है: कृत्रिम वर्कलोड शायद ही कभी उस बेतरतीब मिश्रण से मेल खाते हैं जो असली मशीन के सामने आता है।

इस पर चलता है: लगभग 10⁹ FLOPS मोटा अनुमान लैपटॉप या वर्कस्टेशन पर सेकंडों से मिनटों में चलता हैतब से: 1968 1968 तक, प्रोसेसर समय-निर्धारण नीतियों के सिमुलेशन अध्ययन

कंपाइलर और प्रोग्राम अनुकूलन खोज

कोड के किसी टुकड़े की असंख्य छोटी विविधताएँ आज़माई और नापी जाती हैं, ताकि वह सबसे तेज़ या सबसे छोटा रूप मिले जो वही काम करता हो।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: इस छोटे-से कोड-टुकड़े को लिखने के सभी समतुल्य तरीक़ों में से असल में सबसे तेज़ कौन-सा है?

छोड़ता है: मिले प्रोग्राम कभी-कभी इतने असामान्य होते हैं कि उनके काम करने की कोई व्याख्या उपलब्ध नहीं।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁰ FLOPS मोटा अनुमान कोड के रूपांतरों के बड़े समूह में खोज करने वाला क्लस्टरतब से: 2006 2006 तक, छोटे निर्देश-क्रमों पर सुपरऑप्टिमाइज़ेशन खोज

एल्गोरिदम के प्रदर्शन का अनुभवजन्य परीक्षण

एक एल्गोरिदम को बेतरतीब बने या असली, बढ़ते आकार के इनपुटों पर हज़ारों बार चलाया जाता है, और काग़ज़ पर साबित करने के बजाय नापा जाता है कि उसके चलने का समय असल में कैसे बढ़ता है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: इस एल्गोरिद्म का चलने का समय, उन इनपुटों पर जो वह असल में देखेगा, व्यवहार में कैसे बढ़ता है?

छोड़ता है: परीक्षण-इनपुटों में अनुपस्थित सबसे बुरा मामला तब तक पकड़ में नहीं आता जब तक वह घट न जाए।

इस पर चलता है: लगभग 10⁹ FLOPS मोटा अनुमान बनाए गए कई परीक्षण इनपुट पर वर्कस्टेशन पर चलता हैतब से: 1970 1970 तक, एल्गोरिदम के चलने के समय का व्यवस्थित प्रायोगिक परीक्षण

भाषा-मॉडल से प्रोग्राम निष्पादन

एक भाषा-मॉडल चरण-दर-चरण मध्यवर्ती अवस्थाएँ लिखता है, यह ट्रेस करते हुए कि कोई प्रोग्राम क्या गणना करेगा।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या कोई भाषा-मॉडल कोड चलाने की नकल कर सकता है?

छोड़ता है: आउटपुट के सही होने की गारंटी नहीं है, और लंबे प्रोग्राम विफल होते हैं।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁴ FLOPS मोटा अनुमान प्रति-प्रश्न इन्फ़रेंसतब से: 2021 Show your work: scratchpads for intermediate computation with language models (2021) स्रोत

ब्लॉकचेन सहमति सिमुलेशन

देरी के साथ ब्लॉक बनाते और साझा करते नोडों का नेटवर्क, ताकि परखा जा सके कि ब्लॉक का आकार, समय और हमलावर सुरक्षा और थ्रूपुट को कैसे प्रभावित करते हैं।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: नेटवर्क में देरी और हमले की स्थिति में कोई ब्लॉकचेन कितनी सुरक्षित और तेज़ है?

छोड़ता है: असली नोड व्यवहार और नेटवर्क संरचनाएँ केवल आंशिक रूप से मापी गई हैं।

इस पर चलता है: लगभग 10⁸ FLOPS मोटा अनुमान हज़ारों नोडों के घटना-चालित रन।तब से: 2016 जर्वे और सहकर्मियों का सिमुलेटर से प्रूफ़-ऑफ़-वर्क ब्लॉकचेनों का सुरक्षा और प्रदर्शन विश्लेषण। स्रोत

समानांतर असतत-घटना सिमुलेशन

समय में घटनाओं का एक सिमुलेशन कई प्रोसेसरों में बाँटा जाता है, जो हर एक अपनी घड़ी आगे बढ़ाता है और कोई देर से आए तो पीछे लौटता है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: नेटवर्क या युद्धक्षेत्र जैसा विशाल घटना-चालित सिमुलेशन कई मशीनों पर तेज़ कैसे चल सकता है?

छोड़ता है: रोलबैक कैस्केड कर सकते हैं, और रफ़्तार में बढ़त इस पर बहुत निर्भर करती है कि घटनाएँ कितनी कसकर जुड़ी हैं।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁴ FLOPS मोटा अनुमान अरबों घटनाओं के लिए सुपरकंप्यूटर पर घंटे।तब से: 1985 जेफ़रसन का आभासी समय, आशावादी समकालन के लिए Time Warp तंत्र। स्रोत

ग्राफ़िक्स प्रोसेसर आर्किटेक्चर का सिमुलेशन

ग्राफ़िक्स प्रोसेसर के कोर, वार्प और मेमोरी को चक्र-दर-चक्र मॉडल किया जाता है, और असली प्रोग्राम चलाकर डिज़ाइन को बनाने से पहले परखा जाता है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: डिज़ाइन में बदलाव ग्राफ़िक्स चिप पर समानांतर प्रोग्रामों की गति को कैसे प्रभावित करेगा?

छोड़ता है: असली चिपों का ब्योरा गुप्त या अज्ञात है, इसलिए मॉडल मौजूदा डिज़ाइनों के आँकड़ों से केवल मोटे तौर पर मेल खाता है।

इस पर चलता है: लगभग 10¹² FLOPS मोटा अनुमान सिमुलेट किए गए निष्पादन के हर सेकंड के लिए कई घंटे से कई दिन तक होस्ट का समय।तब से: 2009 बख़ोदा और सहकर्मियों का ब्योरेवार GPU सिमुलेटर से CUDA कार्यभारों का विश्लेषण। स्रोत

FPGA-त्वरित तंत्र सिमुलेशन

एक चिप डिज़ाइन को कई पुनःविन्यस्त होने योग्य सर्किटों पर लोड किया जाता है। वे उसे मेगाहर्ट्ज़ की गति से, हर चक्र को ठीक-ठीक चलाते हैं, और पूरे सर्वरों और उनके नेटवर्कों को सिमुलेट करते हैं।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: यह प्रोसेसर और उसका क्लस्टर बनने से पहले असली सॉफ़्टवेयर चलाने पर कैसा बरताव करेंगे?

छोड़ता है: यह असली चिप से कहीं धीमा है, और जो डिज़ाइन सर्किटों में नहीं समाता उसे चलाया नहीं जा सकता।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁵ FLOPS मोटा अनुमान सैकड़ों पुनःविन्यस्त सर्किटों के क्लाउड पर कुछ दिन।तब से: 2018 करंदीकर और सहयोगियों का FireSim, सार्वजनिक क्लाउड में FPGA-त्वरित, चक्र-सटीक, बड़े पैमाने का तंत्र सिमुलेशन। स्रोत

पूर्ण-तंत्र सिमुलेशन

एक पूरा कंप्यूटर, प्रोसेसरों, मेमोरी, डिस्कों और नेटवर्क कार्डों समेत, इतनी अच्छी तरह सिमुलेट किया जाता है कि वह बिना बदला ऑपरेटिंग सिस्टम बूट करे और उसके प्रोग्राम चलाए।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: असली सॉफ़्टवेयर ऐसी मशीन पर कैसा चलता है जो अभी बनी नहीं, या जिसे जब चाहें रोककर दोबारा चलाया जा सकता है?

छोड़ता है: गति के लिए समय को अनुमानित रखा गया है, इसलिए यह सटीक प्रदर्शन नहीं दे सकता, केवल कार्यात्मक व्यवहार।

इस पर चलता है: लगभग 10¹¹ FLOPS मोटा अनुमान हर सिमुलेटेड मशीन के लिए सर्वर पर लगभग रीयल-टाइम।तब से: 2002 मैग्नसन और सहयोगियों का Simics, एक पूर्ण-तंत्र सिमुलेशन मंच। स्रोत

हल्का नेटवर्क अनुकरण

दर्जनों या सैकड़ों आभासी होस्ट और स्विच एक लैपटॉप पर असली नेटवर्क सॉफ़्टवेयर चलाते हैं, तय गति और देरी वाली इमुलेटेड केबलों से जुड़े।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: क्या यह नेटवर्क नियंत्रण प्रोग्राम तैनाती से पहले पूरी टोपोलॉजी पर काम करेगा?

छोड़ता है: मेज़बान का अपना प्रोसेसर सभी आभासी नोडों में बँटा होता है, इसलिए तेज़ कड़ियाँ धीमी पड़ जाती हैं।

इस पर चलता है: लगभग 10¹⁰ FLOPS मोटा अनुमान एक वर्कस्टेशन पर रीयल-टाइम।तब से: 2010 लैंट्ज़, हेलर और मैककीओन का 'A network in a laptop', सॉफ़्टवेयर-परिभाषित नेटवर्कों के लिए त्वरित प्रोटोटाइपिंग। स्रोत

सिम्युलेटेड एनीलिंग

एक कंप्यूटर परमाणुओं या किसी डिज़ाइन के मॉडल को धीरे-धीरे ठंडा करता है और कभी-कभी बदतर व्यवस्थाएँ भी स्वीकार करता है। इससे किसी कठिन अनुकूलन समस्या का अच्छा हल मिलता है।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: अनगिनत संभावनाओं में लगभग सबसे अच्छा लेआउट या समय-सारणी कौन-सी है?

छोड़ता है: यह सबसे अच्छे उत्तर की कोई गारंटी नहीं देता, और नतीजे शीतलन-अनुसूची पर निर्भर करते हैं।

इस पर चलता है: लगभग 10¹² FLOPS मोटा अनुमान चिप प्लेसमेंट के लिए वर्कस्टेशन पर घंटे।तब से: 1983 किर्कपैट्रिक, गेलैट और वेक्की का सिम्युलेटेड एनीलिंग से अनुकूलन। स्रोत

सन्निकट बेयेसियन संगणन

एक सिमुलेटर को कई परीक्षण पैरामीटर मानों के साथ चलाया जाता है, और जिनसे प्रेक्षित डेटा के क़रीब डेटा बनता है उन्हें रखा जाता है, जिससे तस्वीर मिलती है कि कौन से मान संभव हैं।

वह सवाल जिसका यह जवाब देता है: किसी जटिल मॉडल की कौन-सी सेटिंग उस डेटा को बना सकती थी जो हम देखते हैं?

छोड़ता है: नतीजा इस पर निर्भर करता है कि डेटा के कौन-से सार इस्तेमाल हुए और मिलान कितना क़रीब होना चाहिए।

इस पर चलता है: लगभग 10¹³ FLOPS मोटा अनुमान क्लस्टर पर लाखों सिमुलेटर रन।तब से: 1997 Tavaré और सहयोगियों का सिमुलेशन से DNA अनुक्रम डेटा द्वारा सहउद्भव समय का अनुमान। स्रोत